3.273 \(\int (c+d x)^3 \csc ^2(a+b x) \sec ^2(a+b x) \, dx\)

Optimal. Leaf size=118 \[ -\frac{3 i d^2 (c+d x) \text{PolyLog}\left (2,e^{4 i (a+b x)}\right )}{2 b^3}+\frac{3 d^3 \text{PolyLog}\left (3,e^{4 i (a+b x)}\right )}{8 b^4}+\frac{3 d (c+d x)^2 \log \left (1-e^{4 i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{2 (c+d x)^3 \cot (2 a+2 b x)}{b}-\frac{2 i (c+d x)^3}{b} \]

[Out]

((-2*I)*(c + d*x)^3)/b - (2*(c + d*x)^3*Cot[2*a + 2*b*x])/b + (3*d*(c + d*x)^2*Log[1 - E^((4*I)*(a + b*x))])/b
^2 - (((3*I)/2)*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, E^((4*I)*(a + b*x))])/b^3 + (3*d^3*PolyLog[3, E^((4*I)*(a + b*x))])/(
8*b^4)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.280106, antiderivative size = 118, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 7, number of rules used = 7, integrand size = 24, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.292, Rules used = {4419, 4184, 3717, 2190, 2531, 2282, 6589} \[ -\frac{3 i d^2 (c+d x) \text{PolyLog}\left (2,e^{4 i (a+b x)}\right )}{2 b^3}+\frac{3 d^3 \text{PolyLog}\left (3,e^{4 i (a+b x)}\right )}{8 b^4}+\frac{3 d (c+d x)^2 \log \left (1-e^{4 i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{2 (c+d x)^3 \cot (2 a+2 b x)}{b}-\frac{2 i (c+d x)^3}{b} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(c + d*x)^3*Csc[a + b*x]^2*Sec[a + b*x]^2,x]

[Out]

((-2*I)*(c + d*x)^3)/b - (2*(c + d*x)^3*Cot[2*a + 2*b*x])/b + (3*d*(c + d*x)^2*Log[1 - E^((4*I)*(a + b*x))])/b
^2 - (((3*I)/2)*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, E^((4*I)*(a + b*x))])/b^3 + (3*d^3*PolyLog[3, E^((4*I)*(a + b*x))])/(
8*b^4)

Rule 4419

Int[Csc[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*Sec[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.), x_Symbol] :> Dist[
2^n, Int[(c + d*x)^m*Csc[2*a + 2*b*x]^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && IntegerQ[n] && RationalQ[m]

Rule 4184

Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> -Simp[((c + d*x)^m*Cot[e + f*x])/f, x]
+ Dist[(d*m)/f, Int[(c + d*x)^(m - 1)*Cot[e + f*x], x], x] /; FreeQ[{c, d, e, f}, x] && GtQ[m, 0]

Rule 3717

Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*tan[(e_.) + Pi*(k_.) + (f_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[(I*(c + d*x)^(m + 1))/(d*
(m + 1)), x] - Dist[2*I, Int[((c + d*x)^m*E^(2*I*k*Pi)*E^(2*I*(e + f*x)))/(1 + E^(2*I*k*Pi)*E^(2*I*(e + f*x)))
, x], x] /; FreeQ[{c, d, e, f}, x] && IntegerQ[4*k] && IGtQ[m, 0]

Rule 2190

Int[(((F_)^((g_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))))^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.))/((a_) + (b_.)*((F_)^((g_.)*((e_.) +
(f_.)*(x_))))^(n_.)), x_Symbol] :> Simp[((c + d*x)^m*Log[1 + (b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a])/(b*f*g*n*Log[F]), x]
- Dist[(d*m)/(b*f*g*n*Log[F]), Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 + (b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a], x], x] /; FreeQ[{F,
a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && IGtQ[m, 0]

Rule 2531

Int[Log[1 + (e_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(n_.)]*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> -Simp[((
f + g*x)^m*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)])/(b*c*n*Log[F]), x] + Dist[(g*m)/(b*c*n*Log[F]), Int[(f + g*x)
^(m - 1)*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, e, f, g, n}, x] && GtQ[m, 0]

Rule 2282

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = FunctionOfExponential[u, x]}, Dist[v/D[v, x], Subst[Int[FunctionOfExponentialFu
nction[u, x]/x, x], x, v], x]] /; FunctionOfExponentialQ[u, x] &&  !MatchQ[u, (w_)*((a_.)*(v_)^(n_))^(m_) /; F
reeQ[{a, m, n}, x] && IntegerQ[m*n]] &&  !MatchQ[u, E^((c_.)*((a_.) + (b_.)*x))*(F_)[v_] /; FreeQ[{a, b, c}, x
] && InverseFunctionQ[F[x]]]

Rule 6589

Int[PolyLog[n_, (c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(p_.)]/((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[PolyLog[n + 1, c*(a
+ b*x)^p]/(e*p), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x] && EqQ[b*d, a*e]

Rubi steps

\begin{align*} \int (c+d x)^3 \csc ^2(a+b x) \sec ^2(a+b x) \, dx &=4 \int (c+d x)^3 \csc ^2(2 a+2 b x) \, dx\\ &=-\frac{2 (c+d x)^3 \cot (2 a+2 b x)}{b}+\frac{(6 d) \int (c+d x)^2 \cot (2 a+2 b x) \, dx}{b}\\ &=-\frac{2 i (c+d x)^3}{b}-\frac{2 (c+d x)^3 \cot (2 a+2 b x)}{b}-\frac{(12 i d) \int \frac{e^{2 i (2 a+2 b x)} (c+d x)^2}{1-e^{2 i (2 a+2 b x)}} \, dx}{b}\\ &=-\frac{2 i (c+d x)^3}{b}-\frac{2 (c+d x)^3 \cot (2 a+2 b x)}{b}+\frac{3 d (c+d x)^2 \log \left (1-e^{4 i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{\left (6 d^2\right ) \int (c+d x) \log \left (1-e^{2 i (2 a+2 b x)}\right ) \, dx}{b^2}\\ &=-\frac{2 i (c+d x)^3}{b}-\frac{2 (c+d x)^3 \cot (2 a+2 b x)}{b}+\frac{3 d (c+d x)^2 \log \left (1-e^{4 i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{3 i d^2 (c+d x) \text{Li}_2\left (e^{4 i (a+b x)}\right )}{2 b^3}+\frac{\left (3 i d^3\right ) \int \text{Li}_2\left (e^{2 i (2 a+2 b x)}\right ) \, dx}{2 b^3}\\ &=-\frac{2 i (c+d x)^3}{b}-\frac{2 (c+d x)^3 \cot (2 a+2 b x)}{b}+\frac{3 d (c+d x)^2 \log \left (1-e^{4 i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{3 i d^2 (c+d x) \text{Li}_2\left (e^{4 i (a+b x)}\right )}{2 b^3}+\frac{\left (3 d^3\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_2(x)}{x} \, dx,x,e^{2 i (2 a+2 b x)}\right )}{8 b^4}\\ &=-\frac{2 i (c+d x)^3}{b}-\frac{2 (c+d x)^3 \cot (2 a+2 b x)}{b}+\frac{3 d (c+d x)^2 \log \left (1-e^{4 i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{3 i d^2 (c+d x) \text{Li}_2\left (e^{4 i (a+b x)}\right )}{2 b^3}+\frac{3 d^3 \text{Li}_3\left (e^{4 i (a+b x)}\right )}{8 b^4}\\ \end{align*}

Mathematica [B]  time = 2.23132, size = 285, normalized size = 2.42 \[ \frac{12 i b d^2 (c+d x) \text{PolyLog}\left (2,-e^{-i (a+b x)}\right )+12 i b d^2 (c+d x) \text{PolyLog}\left (2,e^{-i (a+b x)}\right )+6 i b d^2 (c+d x) \text{PolyLog}\left (2,-e^{-2 i (a+b x)}\right )+12 d^3 \text{PolyLog}\left (3,-e^{-i (a+b x)}\right )+12 d^3 \text{PolyLog}\left (3,e^{-i (a+b x)}\right )+3 d^3 \text{PolyLog}\left (3,-e^{-2 i (a+b x)}\right )-\frac{8 i b^3 (c+d x)^3}{-1+e^{4 i a}}+6 b^2 d (c+d x)^2 \log \left (1-e^{-i (a+b x)}\right )+6 b^2 d (c+d x)^2 \log \left (1+e^{-i (a+b x)}\right )+6 b^2 d (c+d x)^2 \log \left (1+e^{-2 i (a+b x)}\right )+4 b^3 \csc (2 a) \sin (2 b x) (c+d x)^3 \csc (2 (a+b x))}{2 b^4} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[(c + d*x)^3*Csc[a + b*x]^2*Sec[a + b*x]^2,x]

[Out]

(((-8*I)*b^3*(c + d*x)^3)/(-1 + E^((4*I)*a)) + 6*b^2*d*(c + d*x)^2*Log[1 - E^((-I)*(a + b*x))] + 6*b^2*d*(c +
d*x)^2*Log[1 + E^((-I)*(a + b*x))] + 6*b^2*d*(c + d*x)^2*Log[1 + E^((-2*I)*(a + b*x))] + (12*I)*b*d^2*(c + d*x
)*PolyLog[2, -E^((-I)*(a + b*x))] + (12*I)*b*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, E^((-I)*(a + b*x))] + (6*I)*b*d^2*(c + d
*x)*PolyLog[2, -E^((-2*I)*(a + b*x))] + 12*d^3*PolyLog[3, -E^((-I)*(a + b*x))] + 12*d^3*PolyLog[3, E^((-I)*(a
+ b*x))] + 3*d^3*PolyLog[3, -E^((-2*I)*(a + b*x))] + 4*b^3*(c + d*x)^3*Csc[2*a]*Csc[2*(a + b*x)]*Sin[2*b*x])/(
2*b^4)

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.336, size = 687, normalized size = 5.8 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((d*x+c)^3*csc(b*x+a)^2*sec(b*x+a)^2,x)

[Out]

6*d^3*polylog(3,-exp(I*(b*x+a)))/b^4+6*d^3*polylog(3,exp(I*(b*x+a)))/b^4-3*d^3/b^4*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*a^2+3*
d^3/b^2*ln(exp(I*(b*x+a))+1)*x^2+3*d^3/b^2*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*x^2-12*d^3/b^4*a^2*ln(exp(I*(b*x+a)))-12*d/b^2
*c^2*ln(exp(I*(b*x+a)))+3*d/b^2*c^2*ln(exp(2*I*(b*x+a))+1)+3*d^3/b^2*ln(exp(2*I*(b*x+a))+1)*x^2+6*d^2/b^2*c*ln
(exp(2*I*(b*x+a))+1)*x-6*I*d^2/b^3*c*polylog(2,-exp(I*(b*x+a)))-12*I*d^2/b*c*x^2+12*I*d^3/b^3*a^2*x-12*I*d^2/b
^3*c*a^2-3*I*d^2/b^3*c*polylog(2,-exp(2*I*(b*x+a)))-3*I*d^3/b^3*polylog(2,-exp(2*I*(b*x+a)))*x-6/b^3*c*d^2*a*l
n(exp(I*(b*x+a))-1)+24*d^2/b^3*c*a*ln(exp(I*(b*x+a)))+3/2*d^3*polylog(3,-exp(2*I*(b*x+a)))/b^4+8*I*d^3/b^4*a^3
-4*I*d^3/b*x^3-24*I*d^2/b^2*c*a*x-6*I*d^3/b^3*polylog(2,-exp(I*(b*x+a)))*x+6*d^2/b^2*c*ln(exp(I*(b*x+a))+1)*x+
6*d^2/b^2*c*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*x+6*d^2/b^3*c*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*a-6*I*d^3/b^3*polylog(2,exp(I*(b*x+a)))*x+
3/b^2*c^2*d*ln(exp(I*(b*x+a))+1)+3/b^2*c^2*d*ln(exp(I*(b*x+a))-1)+3/b^4*d^3*a^2*ln(exp(I*(b*x+a))-1)-4*I*(d^3*
x^3+3*c*d^2*x^2+3*c^2*d*x+c^3)/b/(exp(2*I*(b*x+a))+1)/(exp(2*I*(b*x+a))-1)-6*I*d^2/b^3*c*polylog(2,exp(I*(b*x+
a)))

________________________________________________________________________________________

Maxima [B]  time = 2.35505, size = 3179, normalized size = 26.94 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^3*csc(b*x+a)^2*sec(b*x+a)^2,x, algorithm="maxima")

[Out]

-1/2*(2*c^3*(1/tan(b*x + a) - tan(b*x + a)) - 6*a*c^2*d*(1/tan(b*x + a) - tan(b*x + a))/b + 6*a^2*c*d^2*(1/tan
(b*x + a) - tan(b*x + a))/b^2 - 2*a^3*d^3*(1/tan(b*x + a) - tan(b*x + a))/b^3 - 3*((cos(4*b*x + 4*a)^2 + sin(4
*b*x + 4*a)^2 - 2*cos(4*b*x + 4*a) + 1)*log(cos(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 + 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)
+ (cos(4*b*x + 4*a)^2 + sin(4*b*x + 4*a)^2 - 2*cos(4*b*x + 4*a) + 1)*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 + 2*c
os(b*x + a) + 1) + (cos(4*b*x + 4*a)^2 + sin(4*b*x + 4*a)^2 - 2*cos(4*b*x + 4*a) + 1)*log(cos(b*x + a)^2 + sin
(b*x + a)^2 - 2*cos(b*x + a) + 1) - 8*(b*x + a)*sin(4*b*x + 4*a))*c^2*d/((cos(4*b*x + 4*a)^2 + sin(4*b*x + 4*a
)^2 - 2*cos(4*b*x + 4*a) + 1)*b) + 6*((cos(4*b*x + 4*a)^2 + sin(4*b*x + 4*a)^2 - 2*cos(4*b*x + 4*a) + 1)*log(c
os(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 + 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1) + (cos(4*b*x + 4*a)^2 + sin(4*b*x + 4*a)^2 -
2*cos(4*b*x + 4*a) + 1)*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 + 2*cos(b*x + a) + 1) + (cos(4*b*x + 4*a)^2 + sin(
4*b*x + 4*a)^2 - 2*cos(4*b*x + 4*a) + 1)*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 - 2*cos(b*x + a) + 1) - 8*(b*x +
a)*sin(4*b*x + 4*a))*a*c*d^2/((cos(4*b*x + 4*a)^2 + sin(4*b*x + 4*a)^2 - 2*cos(4*b*x + 4*a) + 1)*b^2) - 3*((co
s(4*b*x + 4*a)^2 + sin(4*b*x + 4*a)^2 - 2*cos(4*b*x + 4*a) + 1)*log(cos(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 +
2*cos(2*b*x + 2*a) + 1) + (cos(4*b*x + 4*a)^2 + sin(4*b*x + 4*a)^2 - 2*cos(4*b*x + 4*a) + 1)*log(cos(b*x + a)^
2 + sin(b*x + a)^2 + 2*cos(b*x + a) + 1) + (cos(4*b*x + 4*a)^2 + sin(4*b*x + 4*a)^2 - 2*cos(4*b*x + 4*a) + 1)*
log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 - 2*cos(b*x + a) + 1) - 8*(b*x + a)*sin(4*b*x + 4*a))*a^2*d^3/((cos(4*b*x
+ 4*a)^2 + sin(4*b*x + 4*a)^2 - 2*cos(4*b*x + 4*a) + 1)*b^3) + 2*((6*(b*x + a)^2*d^3 + 12*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b
*x + a) - 6*((b*x + a)^2*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*cos(4*b*x + 4*a) - (6*I*(b*x + a)^2*d^3 + (12*I*
b*c*d^2 - 12*I*a*d^3)*(b*x + a))*sin(4*b*x + 4*a))*arctan2(sin(2*b*x + 2*a), cos(2*b*x + 2*a) + 1) + (6*(b*x +
a)^2*d^3 + 12*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a) - 6*((b*x + a)^2*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*cos(4*b*x + 4
*a) - (6*I*(b*x + a)^2*d^3 + (12*I*b*c*d^2 - 12*I*a*d^3)*(b*x + a))*sin(4*b*x + 4*a))*arctan2(sin(b*x + a), co
s(b*x + a) + 1) - (6*(b*x + a)^2*d^3 + 12*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a) - 6*((b*x + a)^2*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^
3)*(b*x + a))*cos(4*b*x + 4*a) + (-6*I*(b*x + a)^2*d^3 + (-12*I*b*c*d^2 + 12*I*a*d^3)*(b*x + a))*sin(4*b*x + 4
*a))*arctan2(sin(b*x + a), -cos(b*x + a) + 1) + 8*((b*x + a)^3*d^3 + 3*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2)*cos(4*b*
x + 4*a) - (6*b*c*d^2 + 6*(b*x + a)*d^3 - 6*a*d^3 - 6*(b*c*d^2 + (b*x + a)*d^3 - a*d^3)*cos(4*b*x + 4*a) + (-6
*I*b*c*d^2 - 6*I*(b*x + a)*d^3 + 6*I*a*d^3)*sin(4*b*x + 4*a))*dilog(-e^(2*I*b*x + 2*I*a)) - (12*b*c*d^2 + 12*(
b*x + a)*d^3 - 12*a*d^3 - 12*(b*c*d^2 + (b*x + a)*d^3 - a*d^3)*cos(4*b*x + 4*a) + (-12*I*b*c*d^2 - 12*I*(b*x +
a)*d^3 + 12*I*a*d^3)*sin(4*b*x + 4*a))*dilog(-e^(I*b*x + I*a)) - (12*b*c*d^2 + 12*(b*x + a)*d^3 - 12*a*d^3 -
12*(b*c*d^2 + (b*x + a)*d^3 - a*d^3)*cos(4*b*x + 4*a) + (-12*I*b*c*d^2 - 12*I*(b*x + a)*d^3 + 12*I*a*d^3)*sin(
4*b*x + 4*a))*dilog(e^(I*b*x + I*a)) - (3*I*(b*x + a)^2*d^3 + (6*I*b*c*d^2 - 6*I*a*d^3)*(b*x + a) + (-3*I*(b*x
+ a)^2*d^3 + (-6*I*b*c*d^2 + 6*I*a*d^3)*(b*x + a))*cos(4*b*x + 4*a) + 3*((b*x + a)^2*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3
)*(b*x + a))*sin(4*b*x + 4*a))*log(cos(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 + 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1) - (3*I*(b
*x + a)^2*d^3 + (6*I*b*c*d^2 - 6*I*a*d^3)*(b*x + a) + (-3*I*(b*x + a)^2*d^3 + (-6*I*b*c*d^2 + 6*I*a*d^3)*(b*x
+ a))*cos(4*b*x + 4*a) + 3*((b*x + a)^2*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*sin(4*b*x + 4*a))*log(cos(b*x + a
)^2 + sin(b*x + a)^2 + 2*cos(b*x + a) + 1) - (3*I*(b*x + a)^2*d^3 + (6*I*b*c*d^2 - 6*I*a*d^3)*(b*x + a) + (-3*
I*(b*x + a)^2*d^3 + (-6*I*b*c*d^2 + 6*I*a*d^3)*(b*x + a))*cos(4*b*x + 4*a) + 3*((b*x + a)^2*d^3 + 2*(b*c*d^2 -
a*d^3)*(b*x + a))*sin(4*b*x + 4*a))*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 - 2*cos(b*x + a) + 1) - (-3*I*d^3*cos
(4*b*x + 4*a) + 3*d^3*sin(4*b*x + 4*a) + 3*I*d^3)*polylog(3, -e^(2*I*b*x + 2*I*a)) - (-12*I*d^3*cos(4*b*x + 4*
a) + 12*d^3*sin(4*b*x + 4*a) + 12*I*d^3)*polylog(3, -e^(I*b*x + I*a)) - (-12*I*d^3*cos(4*b*x + 4*a) + 12*d^3*s
in(4*b*x + 4*a) + 12*I*d^3)*polylog(3, e^(I*b*x + I*a)) - (-8*I*(b*x + a)^3*d^3 + (-24*I*b*c*d^2 + 24*I*a*d^3)
*(b*x + a)^2)*sin(4*b*x + 4*a))/(-2*I*b^3*cos(4*b*x + 4*a) + 2*b^3*sin(4*b*x + 4*a) + 2*I*b^3))/b

________________________________________________________________________________________

Fricas [C]  time = 0.898168, size = 4263, normalized size = 36.13 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^3*csc(b*x+a)^2*sec(b*x+a)^2,x, algorithm="fricas")

[Out]

1/2*(2*b^3*d^3*x^3 + 6*b^3*c*d^2*x^2 + 6*b^3*c^2*d*x + 2*b^3*c^3 + 6*d^3*cos(b*x + a)*polylog(3, cos(b*x + a)
+ I*sin(b*x + a))*sin(b*x + a) + 6*d^3*cos(b*x + a)*polylog(3, cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a))*sin(b*x + a) + 6
*d^3*cos(b*x + a)*polylog(3, I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a))*sin(b*x + a) + 6*d^3*cos(b*x + a)*polylog(3, I*cos
(b*x + a) - sin(b*x + a))*sin(b*x + a) + 6*d^3*cos(b*x + a)*polylog(3, -I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a))*sin(b*x
+ a) + 6*d^3*cos(b*x + a)*polylog(3, -I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a))*sin(b*x + a) + 6*d^3*cos(b*x + a)*polylo
g(3, -cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a))*sin(b*x + a) + 6*d^3*cos(b*x + a)*polylog(3, -cos(b*x + a) - I*sin(b*x +
a))*sin(b*x + a) + (-6*I*b*d^3*x - 6*I*b*c*d^2)*cos(b*x + a)*dilog(cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a))*sin(b*x + a)
+ (6*I*b*d^3*x + 6*I*b*c*d^2)*cos(b*x + a)*dilog(cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a))*sin(b*x + a) + (6*I*b*d^3*x +
6*I*b*c*d^2)*cos(b*x + a)*dilog(I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a))*sin(b*x + a) + (-6*I*b*d^3*x - 6*I*b*c*d^2)*co
s(b*x + a)*dilog(I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a))*sin(b*x + a) + (-6*I*b*d^3*x - 6*I*b*c*d^2)*cos(b*x + a)*dilog
(-I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a))*sin(b*x + a) + (6*I*b*d^3*x + 6*I*b*c*d^2)*cos(b*x + a)*dilog(-I*cos(b*x + a)
- sin(b*x + a))*sin(b*x + a) + (6*I*b*d^3*x + 6*I*b*c*d^2)*cos(b*x + a)*dilog(-cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a))
*sin(b*x + a) + (-6*I*b*d^3*x - 6*I*b*c*d^2)*cos(b*x + a)*dilog(-cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a))*sin(b*x + a) +
3*(b^2*d^3*x^2 + 2*b^2*c*d^2*x + b^2*c^2*d)*cos(b*x + a)*log(cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a) + 1)*sin(b*x + a)
+ 3*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + a^2*d^3)*cos(b*x + a)*log(cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a) + I)*sin(b*x + a) + 3*(
b^2*d^3*x^2 + 2*b^2*c*d^2*x + b^2*c^2*d)*cos(b*x + a)*log(cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a) + 1)*sin(b*x + a) + 3*
(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + a^2*d^3)*cos(b*x + a)*log(cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a) + I)*sin(b*x + a) + 3*(b^2*
d^3*x^2 + 2*b^2*c*d^2*x + 2*a*b*c*d^2 - a^2*d^3)*cos(b*x + a)*log(I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a) + 1)*sin(b*x +
a) + 3*(b^2*d^3*x^2 + 2*b^2*c*d^2*x + 2*a*b*c*d^2 - a^2*d^3)*cos(b*x + a)*log(I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a) +
1)*sin(b*x + a) + 3*(b^2*d^3*x^2 + 2*b^2*c*d^2*x + 2*a*b*c*d^2 - a^2*d^3)*cos(b*x + a)*log(-I*cos(b*x + a) +
sin(b*x + a) + 1)*sin(b*x + a) + 3*(b^2*d^3*x^2 + 2*b^2*c*d^2*x + 2*a*b*c*d^2 - a^2*d^3)*cos(b*x + a)*log(-I*c
os(b*x + a) - sin(b*x + a) + 1)*sin(b*x + a) + 3*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + a^2*d^3)*cos(b*x + a)*log(-1/2*cos
(b*x + a) + 1/2*I*sin(b*x + a) + 1/2)*sin(b*x + a) + 3*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + a^2*d^3)*cos(b*x + a)*log(-1
/2*cos(b*x + a) - 1/2*I*sin(b*x + a) + 1/2)*sin(b*x + a) + 3*(b^2*d^3*x^2 + 2*b^2*c*d^2*x + 2*a*b*c*d^2 - a^2*
d^3)*cos(b*x + a)*log(-cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a) + 1)*sin(b*x + a) + 3*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + a^2*d^3)
*cos(b*x + a)*log(-cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a) + I)*sin(b*x + a) + 3*(b^2*d^3*x^2 + 2*b^2*c*d^2*x + 2*a*b*c*
d^2 - a^2*d^3)*cos(b*x + a)*log(-cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a) + 1)*sin(b*x + a) + 3*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2
+ a^2*d^3)*cos(b*x + a)*log(-cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a) + I)*sin(b*x + a) - 4*(b^3*d^3*x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^
2 + 3*b^3*c^2*d*x + b^3*c^3)*cos(b*x + a)^2)/(b^4*cos(b*x + a)*sin(b*x + a))

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)**3*csc(b*x+a)**2*sec(b*x+a)**2,x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{\left (d x + c\right )}^{3} \csc \left (b x + a\right )^{2} \sec \left (b x + a\right )^{2}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^3*csc(b*x+a)^2*sec(b*x+a)^2,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((d*x + c)^3*csc(b*x + a)^2*sec(b*x + a)^2, x)